sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (p -a ) = sin a
sin (p /2 -a ) = cos a
cos (p /2 -a ) = sin a
cos (a + 2p k) = cos a
sin (a + 2p k) = sin a
tg (a + p k) = tg a
ctg (a + p k) = ctg a
sin² a + cos² a =1
ctg a = cosa / sina , a № p n, nО Z
tga Ч ctga = 1, a № (p n)/2, nО Z
1+tg² a = 1/cos² a , a № p (2n+1)/2
1+ ctg² a =1/sin² a , a № p n
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y № p /2 + p n
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y № p /2 + p n
Формулы двойного аргумента.
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 =
= 1-2 sin² a
tg 2a = (2 tga )/ (1-tg² a )
1+ cos a = 2 cos² a /2
1-cosa = 2 sin² a /2
tga = (2 tg (a /2))/(1-tg² (a /2))
Формулылы половинного аргумента.
sin² a /2 = (1 - cos a )/2
cos² a /2 = (1 + cosa )/2
tg a /2 = sina /(1 + cosa ) = (1-cos a )/sin a
a
№ p + 2p n, n О ZФормулы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
Формулы половинного аргумента.
sinІ a /2 = (1 - cos a )/2
cosІ a /2 = (1 + cosa )/2
tg a /2 = sina /(1 + cosa ) = (1-cos a )/sin a
a
№ p + 2p n, n О ZФормулы преобразования произведения
в суммуsin x sin y = 0,5 (cos (x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = 0,5 (cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = 0,5 (sin (x-y)+ sin (x+y))
Соотношения между функциями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)
cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg² x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)
sin² a = 1/(1+ctg² a ) = tg² a /(1+tg² a )
cos² a = 1/(1+tg² a ) = ctg² a / (1+ctg² a )
ctg2a = (ctg² a -1)/ 2ctga
sin3a = 3sina -4sin³ a = 3cos² a sina -sin³ a
cos3a = 4cos³ a -3 cosa= cos³ a -3cosa sin² a
tg3a = (3tga -tg³ a )/(1-3tg² a )
ctg3a = (ctg³ a -3ctga )/(3ctg² a -1)
sin a /2 = ± Ц ((1-cosa )/2)
cos a /2 = ± Ц ((1+cosa )/2)
tga /2 = ± Ц ((1-cosa )/(1+cosa ))=
sina /(1+cosa )=(1-cosa )/sina
ctga /2 = ± Ц ((1+cosa )/(1-cosa ))=
sina /(1-cosa )= (1+cosa )/sina
sin(arcsin a ) = a
cos( arccos a ) = a
tg ( arctg a ) = a
ctg ( arcctg a ) = a
arcsin (sina ) = a ; a О [-p /2 ; p /2]
arccos(cos a ) = a ; a О [0 ; p ]
arctg (tg a ) = a ; a О [-p /2 ; p /2]
arcctg (ctg a ) = a ; a О [ 0 ; p ]
arcsin(sina )=
1)a - 2p k; a О [-p /2 +2p k;p /2+2p k]
2) (2k+1)p - a ; a О [p /2+2p k;3p /2+2p k]
arccos (cosa ) =
1) a -2p k ; a О [2p k;(2k+1)p ]
2) 2p k-a ; a О [(2k-1)p ; 2p k]
arctg(tga )= a -p k
a
О (-p /2 +p k;p /2+p k)arcctg(ctga ) = a -p k
a
О (p k; (k+1)p )arcsina = -arcsin (-a )= p /2-arccosa =
= arctg a /Ц (1-a ² )
arccosa = p -arccos(-a )=p /2-arcsin a =
= arc ctga /Ц (1-a ² )
arctga =-arctg(-a ) = p /2 -arcctga =
= arcsin a /Ц (1+a ² )
arc ctg a = p -arc cctg(-a ) =
= arc cos a /Ц (1-a ² )
arctg a = arc ctg1/a =
= arcsin a /Ц (1+a ² )= arccos1/Ц (1+a ² )
arcsin a + arccos = p /2
arcctg a + arctga = p /2
Тригонометрические уравнения
sin x = m ; |m| = 1
x = (-1)n arcsin m + p k, kО Z
sin x =1 sin x = 0
x = p /2 + 2p k x = p k
sin x = -1
x = -p /2 + 2 p k
cos x = m; |m| = 1
x = ± arccos m + 2p k
cos x = 1 cos x = 0
x = 2p k x = p /2+p k
cos x = -1
x = p + 2p k
tg x = m
x = arctg m + p k
ctg x = m
x = arcctg m +p k